Belajar Modulo Bilangan
Modulo adalah sebuah operasi bilangan yang menghasilkan sisa pembagian dari suatu bilangan terhadap bilangan lainnya. Jadi gampangnya modulo itu adalah suatu operasi untuk mencari sisa dari pembagian suatu bilangan.
Nah, bagaimana notasi dari modulo ini? Jadi bentuk notasi modulo adalah a mod m = r sedemikian sehingga a = mq + r, dengan r adalah sisa. Misal, lima dibagi tiga sisanya dua maka 5 = 3.1 + 2 sehingga 5 mod 3 = 2.
Jika masih bingung saya akan coba kasih beberapa contoh,
• 7 mod 6 = 1 (7 dibagi 6 bersisa 1)
• 19 mod 5 = 4 (19 dibagi 5 bersisa 4)
• 13 mod 6 = 1 (13 dibagi 6 bersisa 1)
Bentuk a mod m = r, modulo bisa ditulis dengan notasi a ≡ r (mod m) .
Apakah kegunaan modulo? Salah satu kegunaan modulo ini pastinya memudahkan kita untuk mencari sisa pembagian.
Seperti contoh soal berikut, 1099 DIBAGI 7 SISANYA BERAPA ?
Kalau 10 dibagi 7 sudah jelas-jelas sisanya 3, bagaimana dengan soal diatas? Apakah kita harus membagi secara manual (dengan cara biasa)? Jelas tidak bisa kita mencarinya dengan pembagian biasa, kalaupun bisa itu membutuhkan waktu yg tidak sedikit-_-. Jadi saat inilah modulo bekerja :)
Jawab :
Pertama kita cari dulu 10 pangkat berapa yg jika dibagi 7 bersisa 1 atau -1 (dalam modulo 7 sisa -1 berarti sisanya = 6)
• 101 dibagi 7 sisanya 3
• 102 dibagi 7 sisanya 2
• 103 dibagi 7 sisanya 6
Note : Untuk menentukan sisa pembagian bilangan diatas dibagi 7, tak perlu melakukan pembagian secara utuh seperti 102 = 100, lalu 100 : 7 = 14 sisa 2. Anda cukup melihat hasil sisa pembagian sebelumnya, sisa pembagian 102 = 10 x 10 dibagi 7 sama dengan (sisa 10/7 x sisa 10/7) = (3 x 3) dibagi 7, 9 : 7 sisa 2. Begitu juga seterusnya, 103 = 101 x 102, jadi sisa 103 dibagi 7 adalah 3 x 2 = 6. (karena demikian sifat sisa pembagian bilangan)
Setelah itu kita masukkan dalam sistem operasi modulo,
103 ≡ -1 (mod 7)
Kedua ruas modulo tersebut dipangkatkan 33 diperoleh,
(10^3)^33 ≡ (-1)^33 (mod 7)
10^99 ≡ -1 (mod 7)
10^99 ≡ 6 (mod 7)
Dengan kata lain, 10^99 dibagi 7 bersisa 6.
Modulo kadang kala digunakan juga di Olimpiade Matematika seperti contoh soal berikut,
• Sisa pembagian dari (3^2011 + 4^2013 + 5^2015) oleh 7 adalah...
Jawaban: ???? silahkan dicoba
Begitulah caranya menggunakan modulo untuk mencari sisa pembagian, semoga membantu, jika kurang jelas atau ada yg salah, jangan ragu untuk komen :) UNIQUE TRADISIONAL @ INDONESIA, U KNOW ?? KLIK HERE PLEASE
Nah, bagaimana notasi dari modulo ini? Jadi bentuk notasi modulo adalah a mod m = r sedemikian sehingga a = mq + r, dengan r adalah sisa. Misal, lima dibagi tiga sisanya dua maka 5 = 3.1 + 2 sehingga 5 mod 3 = 2.
Jika masih bingung saya akan coba kasih beberapa contoh,
• 7 mod 6 = 1 (7 dibagi 6 bersisa 1)
• 19 mod 5 = 4 (19 dibagi 5 bersisa 4)
• 13 mod 6 = 1 (13 dibagi 6 bersisa 1)
Bentuk a mod m = r, modulo bisa ditulis dengan notasi a ≡ r (mod m) .
Apakah kegunaan modulo? Salah satu kegunaan modulo ini pastinya memudahkan kita untuk mencari sisa pembagian.
Seperti contoh soal berikut, 1099 DIBAGI 7 SISANYA BERAPA ?
Kalau 10 dibagi 7 sudah jelas-jelas sisanya 3, bagaimana dengan soal diatas? Apakah kita harus membagi secara manual (dengan cara biasa)? Jelas tidak bisa kita mencarinya dengan pembagian biasa, kalaupun bisa itu membutuhkan waktu yg tidak sedikit-_-. Jadi saat inilah modulo bekerja :)
Jawab :
Pertama kita cari dulu 10 pangkat berapa yg jika dibagi 7 bersisa 1 atau -1 (dalam modulo 7 sisa -1 berarti sisanya = 6)
• 101 dibagi 7 sisanya 3
• 102 dibagi 7 sisanya 2
• 103 dibagi 7 sisanya 6
Note : Untuk menentukan sisa pembagian bilangan diatas dibagi 7, tak perlu melakukan pembagian secara utuh seperti 102 = 100, lalu 100 : 7 = 14 sisa 2. Anda cukup melihat hasil sisa pembagian sebelumnya, sisa pembagian 102 = 10 x 10 dibagi 7 sama dengan (sisa 10/7 x sisa 10/7) = (3 x 3) dibagi 7, 9 : 7 sisa 2. Begitu juga seterusnya, 103 = 101 x 102, jadi sisa 103 dibagi 7 adalah 3 x 2 = 6. (karena demikian sifat sisa pembagian bilangan)
Setelah itu kita masukkan dalam sistem operasi modulo,
103 ≡ -1 (mod 7)
Kedua ruas modulo tersebut dipangkatkan 33 diperoleh,
(10^3)^33 ≡ (-1)^33 (mod 7)
10^99 ≡ -1 (mod 7)
10^99 ≡ 6 (mod 7)
Dengan kata lain, 10^99 dibagi 7 bersisa 6.
Modulo kadang kala digunakan juga di Olimpiade Matematika seperti contoh soal berikut,
• Sisa pembagian dari (3^2011 + 4^2013 + 5^2015) oleh 7 adalah...
Jawaban: ???? silahkan dicoba
Begitulah caranya menggunakan modulo untuk mencari sisa pembagian, semoga membantu, jika kurang jelas atau ada yg salah, jangan ragu untuk komen :) UNIQUE TRADISIONAL @ INDONESIA, U KNOW ?? KLIK HERE PLEASE
Penjelasan anda bikin bingung tdk dijelaskan secara gamblang gitu bos